Algebraic identities and digit equations

Link squares through products and write two-digit numbers in place-value form

MINDMAPS FOR UPSCPET 2026 · VISUAL REVISION

Link squares through products and write two-digit numbers in place-value form

Concept map

Identities and two-digit place value

Here the identity gives the required sum of squares without solving for a and b separately.
Given a − b = 4 and ab = 12, substitute into a² + b² = (a − b)² + 2ab.
Compute 4² + 2(12) = 16 + 24 = 40; watch the +2ab sign when starting from (a − b)².

Difference on reversal is always a multiple of 9: (10b + a) − (10a + b) = 9(b − a).
If reversal increases the number by 45, then 9(b − a) = 45, so b − a = 5.
Combining a + b = 9 with b − a = 5 gives a = 2, b = 7; original number is 27 (72 − 27 = 45).

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MINDMAPS FOR UPSCपीईटी 2026 · दृश्य पुनरावृत्ति

बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ और अंक समीकरण

गुणनफल के माध्यम से वर्गों को जोड़ें और दो-अंकीय संख्याओं को स्थानीय-मान रूप में लिखें

अवधारणा मानचित्र

सर्वसमिकाएँ और दो-अंकीय स्थानीय मान

(a + b)² = a² + 2ab + b² तथा (a − b)² = a² − 2ab + b²।
वर्गों का योग निकालने हेतु पुनर्व्यवस्थित करें: a² + b² = (a − b)² + 2ab = (a + b)² − 2ab।
(a + b)² − (a − b)² = 4ab योग, अंतर और गुणनफल को सीधे जोड़ता है।

यहाँ सर्वसमिका से a और b के अलग मान निकाले बिना अपेक्षित वर्ग-योग मिलता है।
a − b = 4 और ab = 12 दिए होने पर a² + b² = (a − b)² + 2ab में मान रखें।
4² + 2(12) = 16 + 24 = 40; (a − b)² से शुरू करते समय +2ab के चिह्न का ध्यान रखें।

दहाई अंक a और इकाई अंक b वाली दो-अंकीय संख्या का मान 10a + b होता है, गुणनफल ab नहीं।
अंकों को पलटने पर स्थानीय मान बदल जाते हैं और नई संख्या 10b + a बनती है।
अंकों की सीमाएँ: दहाई अंक a ∈ {1, …, 9} तथा इकाई अंक b ∈ {0, …, 9}।

अंक पलटने पर अंतर सदैव 9 का गुणज होता है: (10b + a) − (10a + b) = 9(b − a)।
यदि पलटने पर संख्या 45 बढ़ जाती है, तो 9(b − a) = 45, अर्थात् b − a = 5।
a + b = 9 और b − a = 5 को हल करने पर a = 2, b = 7 मिलता है; मूल संख्या 27 है (72 − 27 = 45)।

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